… … … 0 0 … 0 I I … 0 I I … 0 I I I … 0 I I I nur Nullen Abbildung 3.2 von beliebiger Startkonfiguration aus dieser Zustand erreicht wird, würde dies bedeuten, dass der zyklische Zustand eindeutig ist und immer erreicht werden muss. Lemma 3.1: Sei n die Anzahl der Karten und n = 1 + 2 + … + k = ½  k (k+1) mit k = (1, 2, 3,…).  Die  Verteilung  ƒÉ  ist  zyklisch,  genau  dann  wenn  ƒÉ  =  (1,  2,  …,  (k-1),  k).  ƒÉ  ist  die einzige zyklische Verteilung und damit eindeutig. Beweis:   Für   den   Beweis   wird   zunächst   eine   anschauliche   Matrixschreibweise   für   die Kartenverteilung ƒÉ eingeführt. Sei ƒÉ = (ƒÉ₁, ƒÉ₂, ƒÉ₃, …, ƒÉ_s). Sei M eine Matrix mit den Einträgen 0 oder 1. Die Matrix hat die gestalt = = ‡ = sonst i und s j wenn m mit m M j ij j i ij , 0 , 1 ] [ 1 , ƒÉ ƒÉ Dies    bedeutet    anschaulich,    dass    die    verschiedenen    Stapel    der    Verteilung    ƒÉ    als Spaltenvektoren in die Matrix eingetragen werden. Abbildung 3.2 zeigt die Matrixschreibweise für die Beispielverteilung ƒÉ = (4, 4, 2). Um   das   Spiel   mathematisch   zu   beschreiben,   müssen   wir zunächst  einen  Schritt  des  Spiels  in  der  Matrixschreibweise darstellen   können.   Hierzu   führen   wir   zwei   verschiedene "Shifts"  ein.  Um  die  Shifts  zu  beschreiben,  benötigen  wir einen weiteren Begriff, den Begriff der Diagonalen. Definition: Definition der Diagonalen Die  Einträge  v(j;  1),  v(j-1;  2),  …,  v(1,  j)  der  Matrix  bilden eine Diagonale. Hierbei ist die erste Diagonale die Diagonale mit dem Eintrag v(1; 1),  die zweite Diagonale die Diagonale mit den Einträgen v(2; 1), v(1; 2) usw. Der  Eintrag  v(j;  1)  steht  ganz  unten  auf  der  Diagonalen  j, der Eintrag v(1; j) steht ganz oben auf der Diagonalen j. Die    erste    gemischte    Diagonale    ist    die    Diagonale    mit niedrigstem   Index,   deren   Einträge   nicht   nur   aus   Einsen bestehen,  sondern  aus  Nullen  und  Einsen  (Abbildung  3.2, grüne Diagonale). Shift I: Shift  I  beschreibt  genau  einen  Schritt  des  Spiels.  Hierbei  wandern  alle  Einträge  einer Diagonalen  um  eine  Position  nach  oben.  Der  oberste  Eintrag  gelangt  hierbei  nach  ganz unten auf die Diagonale. Dies ist gleichwertig mit dem Abnehmen einer Karte von jedem Stapel (Alle Einsen mit Ausnahme der auf den Einträgen v(1; *) wandern um eine Position nach  Rechts  und  eine  Position  nach  oben.  Die  Einträge  der  ersten  Zeile,  also  von  jeder Spalte genau einer, werden zu einer neuen Spalte zusammengefügt. Dies entspricht dem Entfernen  von  einer  Karte  von  jedem  Stapel  und  dem  Zusammenfügen  zu  einem  neuen Stapel.)  Hinweis:  Für  den  Beweis  ist  es  wichtig  zu  verstehen,  dass  ein  Spielschritt  und Shift I gleichwertig sind. Shift II: Dieser    Shift    entspricht    keinem    Spielschritt,    er    entspricht    einem    Umsortieren    der Kartenstapel.   Da   Permutationen   gleichwertig   sind,   ist   dieser   Schritt   neutral,   d.h.   er beeinflusst das Spiel nicht. Er dient nur der mathematischen Beschreibung. In diesem Schritt werden alle Einsen, die eine Null links von sich stehen haben, nach links verschoben.  Damit  werden  die  Kartenstapel  so  umsortiert,  dass  der  größte  Stapel  ganz links, der kleinste Stapel ganz rechts in der Matrix steht.