Dieser  Shift  tritt  nur  nach  einer  bestimmten  Spielsituation  auf:  Befindet  sich  auf  einer gemischten   Diagonalen   die   Null   ganz   oben   und   die   Eins   auf   der   darunter   liegenden Diagonalen ganz unten, stehen diese nach Durchführung eines Spielschritts nebeneinander.  Hierbei  steht  die  Null  links  neben  der  Eins.  Dies  hat  einen  Shift  II  zur Folge. Durch einen Shift II wird die betroffene Eins auf eine niedrigere Diagonale zurückgeholt. Rück-Richtung des Beweises von Lemma 3.1: Sei ƒÉ die zyklische Verteilung mit ƒÉ = (1, 2, …, k) = (k, (k-1), …, 2, 1) und die Anzahl der Kartenstapel  s  =  k.  Wird  nun  ein  Schritt  des  Spiels  durchgeführt,  so  erhält  man  die Verteilung  ƒÉ'  =  (s,  (k-1),  (k-2),  …,  1,  0)  =  (s,  (k-1),  (k-2),  …,  1).  Da  die  Anzahl  der Kartenstapel s = k, ist ƒÉ' = (k, (k-1), …, 2, 1) = ƒÉ. Damit ist ƒÉ ein einfach-zyklischer Zustand. Hin-Richtung des Beweises von Lemma 3.1: Ist die Anzahl der Karten n eine Dreieckszahl und der zyklische Zustand (ƒÉ = (1, 2, …, (k- 1), k) erreicht, so gibt es in der Matrix keine gemischte Diagonale.  Alle Einsen befinden sich im oberen Dreieck der Matrix. Ist   der   zyklische   Zustand   noch   nicht   erreicht,   so   gibt   es   mindestens   eine   gemischte Diagonale  und  es  befindet  sich  mindestens  eine  Eins  unterhalb  der  ersten  gemischten Diagonalen.    Dann    entsteht    durch    das    wiederholte    Durchführen    von    Spielschritten irgendwann die Situation, dass eine Null der gemischten Diagonalen ganz oben steht. Nun   muss   die   einzelne   Eins   auf   der   darunter   liegenden   Diagonalen   auf   die   unterste Position der entsprechenden Diagonalen gebracht werden, damit ein Shift II auftritt und die  Eins  zurück  auf  eine  Diagonale  mit  niedrigerem  Index  geholt  wird.  Dies  ist  leicht möglich,  da  sich  die  Längen  der  Diagonalen  genau  um  Eins  unterscheiden.  Führen  wir 'Anzahl der Länge der gemischten Diagonalen' - Shift I – Operationen durch, befindet sich die Null der gemischten Diagonalen auf der ursprünglichen Position. Die Eins der darunter liegenden  Diagonalen  ist  hingegen  um  eine  Position  verschoben  worden,  da  sich  diese beiden Diagonalen um einen Eintrag in der Länge unterscheiden. Dies führen wie solange durch, bis sich die Eins ganz unten auf der Diagonalen befindet. Nun wird ein weiteres Mal der Shift I durchgeführt. Im nächsten Schritt holen wir die Eins mittels Shift II auf eine Diagonale mit niedrigerem Index zurück.   Diese Prozedur wird so oft durchgeführt, bis alle Einsen unterhalb der ersten gemischten Diagonalen zurückgeholt worden sind. In diesem Fall existiert keine gemischte Diagonale mehr. Damit haben wir den zyklischen Zustand erreicht. Weiterhin ist der zyklische Zustand eindeutig, da durch wiederholtes Anwenden des Shift I die Einsen zurück geholt werden müssen, da sich die Länge der benachbarten Diagonalen jeweils um eins unterscheidet. Dadurch werden alle Einsen in das obere linke Dreieck der Matrix geholt. Damit ist die Richtigkeit des Lemmas gezeigt.