Weitere Bemerkungen zu Bulgarisches Solitaire: Bulgarisches Solitaire mit einer beliebigen Anzahl von Karten verhält sich ähnlich wie im Fall der Dreieckszahlen. Hierbei gibt es jedoch zwei Unterschiede. Auf der letzten Diagonalen mit Einsen im zyklischen Zustand können Nullen auftreten, die nicht durch Einsen gefüllt werden können. Diese wandern beim Shift I über die Diagonale. Damit ist der zyklische Zustand nicht mehr einfach-zyklisch. Weiterhin    kann    es    vorkommen,    dass    sich    beispielsweise    zwei    Nullen    auf    letzten Diagonalen im zyklischen Zustand befinden. Diese können sich je nach Ausgangskonfiguration   nebeneinander   oder   versetzt   befinden.   Damit   ist   der   zyklische Zustand bei festem n nicht mehr eindeutig. Dieser hängt von der Startkonfiguration ab. Weiterhin lässt sich leicht eine untere Grenze für den Worst-Case der Anzahl der Schritte bis zum zyklischen Zustand für Dreieckszahlen angeben. Sei  ƒÉ die Startverteilung der Karten mit  ƒÉ = ((k-1), (k-1), (k-2), (k-3), …, 3, 2, 1, 1). Auf der gemischten Diagonalen befindet sich die Null also an erster Position, die Eins auf der darüber liegenden Diagonalen befindet sich auf der letzten Position. Zunächst benötigen wir (k-1) Schritte, um die Null auf die oberste Position der gemischten Diagonalen  zu  bringen.  Dadurch  ist  die  Eins  auf  der  darunter  liegenden  Diagonalen  um zwei Positionen nach unten gewandert ((k-1) Schritte und die um Eins längere Diagonale sind hierfür verantwortlich). Nun benötigen wir (k-2) x k Schritte, um die Null an Ihrer Position zu halten und die Eins nach ganz Unten zu bringen. Jetzt wird noch ein Spielschritt durchgeführt. Danach steht die Null links neben der Eins, die Eins wird um eine Position zurückgeholt. Der zyklische Zustand ist erreicht. Nun berechnen wir die Anzahl der benötigen Schritte: (k-1) + (k-2) x k + 1 = k + (k-2) x k = (k-1) x k = k² - k. Diesen Fall können wir für alle Dreieckszahlen konstruieren. Damit ist (k² - k) ein untere Schranke für die Anzahl der Schritte bis zum zyklischen Zustand im Worst–Case. Literaturverzeichnis - Bulgarisches Solitaire, Lemma und Beweise aus: „The Cyclings of Partitions and Compositions under Repeated Shifts“, J.  R.  Griggs,  Chih-Chang  Ho,  Advances  in  Applied  Mathematics,  Vol. 21, No. 2, August 1998 http://www.visi.com/~dethier/aktivities/problem-solving/bulgarian- solitaire.htm http://www.math.okstate.edu - Einführende Beispiele: Material  zu  SMULLYAN'S  Ball  Game  und  den  Graph  der  Hydra  mit  Ausnahme  des Beweises Kapitel “Bulgarian Solitaire and Other Seemingly Endless Tasks” aus "The  Colossal  Book  of  Mathematics:  Classic  Puzzles,  Paradoxes,  and Problems",  Martin  Gardner,  W.  W.  Norton  &  Company,  2001  (zu  Beginn des Seminars ausgeteilter Text) - weitere Ideen und Anregungen: Verschiedene   Internetseiten,   Suchbegriffe   unter   Google:   Bulgarian, solitaire, origin, Hydra, mathematic