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II. Ein komplexeres Beispiel
In diesem Abschnitt wird ein komplexeres Beispiel eingeführt. In diesem werden die
Beobachtungen der vorhergehenden Beispiele vertieft. Hierbei soll wie bereits bei den
unter II aufgeführten Beispielen der Ausgang des Gedankenexperimentes untersucht
werden.
Der Graph der Hydra (Graph of Hydra)1
Wie der Name schon sagt, ist der Graph der Hydra ein Graph, der eine Hydra darstellen
soll. Hierbei entspricht jeder Knoten des Graphs einem Kopf der Hydra. Der Graph der
Hydra entspricht einem Baum. In der untersten Ebene (der Ebene Null) befindet sich
genau ein Kopf. Von dieser Ebene können beliebig, aber nicht unendlich viele Kanten zur
nächsten Ebene (der Ebene Eins) abgehen. Jede dieser Kanten führt zu einem weiteren
Kopf. Diese Köpfe befinden sich auf der Ebene Eins.
Von jedem Kopf der Ebene können wieder beliebig, aber nicht
unendlich viele Kanten zur nächsten Ebene (der Ebene Zwei)
abgehen.
Die Anzahl der abgehenden Kanten von einem Kopf stehen in
keinem Zusammenhang mit der Anzahl der abgehenden Kanten
eines anderen Kopfes in irgendeiner Ebene.
Der Graph der Hydra pflanzt sich so bis zur n-ten Ebene, der
obersten Ebene fort. Die Anzahl der Ebenen n ist beschränkt mit
0 < n < oo, d.h. die Hydra darf nicht aus unendlich vielen Ebenen
bestehen.
Neben der Hydra gibt es noch Herkules, der die Hydra besiegen
will. Herkules kann Kanten der obersten Ebene durchtrennen,
wodurch die Hydra einen Kopf verliert. Durchtrennt Herkules die
erste Kante der Hydra, wächst der Hydra auf der darunter
liegenden Ebene im betroffenen Knoten k ein neuer Teilgraph.
Dieser Teilgraph ist eine genaue Replikation des betroffenen,
über dem Knoten k liegenden Segments, das nach dem
Durchtrennen der Kante entstanden ist.
Der Ablauf ist in Abbildung 2.1 gezeigt.
Die Replikation des Teilgraphs nach dem zweiten Schlag läuft
ähnlich zur Replikation des Teilgraphs nach dem ersten Schlag ab.
Nun reproduziert sich der Teilgraph im Knoten k jedoch 2-mal.
Nach dem 3. Schlag reproduziert sich der Teilgraph 3-mal, nach
dem n-ten Schlag reproduziert sich der Teilgraph n-mal.
Nun stellt sich die Frage, ob Herkules die Hydra besiegen kann.
Weiterhin stellt sich die Frage, ob dies von der Strategie abhängt
oder von der Strategie unabhängig ist.
Um diese Frage zu beantworten, betrachten wir zunächst die
rechte Seite des Graphen im vierten Abgebildeten Zustand von
Abbildung 2.1. Wird nun ein Kopf abgetrennt (grüne Markierung), verkleinert sich die
Höhe des ersten Astes von Rechts von der Hydra, da nur ein Kopf nachwächst. Wiederholt
man dies mit den einzelnen Köpfen im rechten Teilbaum, verkleinert sich die höchste
Ebene der Hydra im rechten Teilbaum um eins. Genauso kann Herkules auch auf der
linken Seite des Graphen vorgehen. Zunächst reduziert er alle Äste auf die Breite von
"Eins", dann reduziert er die Länge des Astes. Damit reduziert er auch hier die Höhe der
Hydra, bis die Gesamthöhe sich ebenfalls reduziert. Die Hydra schrumpft.
Tatsächlich ist es vollkommen unerheblich, welche Strategie Herkules verfolgt. Da sich
immer nur endlich viele Äste in die Breite reproduzieren, wird Herkules die Höhe der
Hydra Schritt für Schritt reduzieren, bis er auf der untersten Ebene angekommen ist.
Selbst wenn die Hydra, beliebig, aber nicht unendlich viele Äste reproduziert, wird
Herkules die Hydra in jedem Fall besiegen. Wichtig ist hierbei nur, dass die Hydra nicht
unendlich viele Kanten reproduzieren darf, wenn Sie einen Kopf verloren hat. Auch darf
1
Die Problematik des "graph of a hydra" wurde 1982 in "The Bulletin of the London Mathematical Society" Vol. 14,
Part 4, No. 49, July 1982, pp. 285 – 293 vorgestellt.
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Abbildung 2.1
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