1, 1, 2, 2 1, 1, 4 3, 3 2, 2, 2 1, 1, 1, 3 2, 4 1, 1, 1, 1, 1, 1 6 1, 1, 1, 1, 2 1, 5 1, 2, 3 Abbildung 3.1 III.  Bulgarisches Solitaire Was ist Bulgarisches Solitaire? Bulgarisches  Solitaire  ist  ein  Kartenspiel.  Hierbei  wird  ein  Phänomen  von  Zahlen-Zyklen bei einer vorgegebenen Methode zur Umsortierung der Karten beobachtet. Beim Bulgarischen Solitaire erhält ein Spieler n Karten. Zunächst betrachten wir den Fall, dass n = k(k+1)/2 mit k ƒÃ {1, 2, 3, …}. Das heißt, n ist eine Dreieckszahl mit n = 1 + 2 + … + k. Methode:   Der Spieler teilt die Karten in beliebig viele Stapel ein, also minimal einen Stapel mit n Karten,  maximal  n  Stapel  mit  einer  Karte.  Die  Stapel  werden  nebeneinander  auf  einen Tisch gelegt. Der  Spieler  nimmt  von  jedem  Kartenstapel  genau  eine  Karte  ab.  Diese  abgenommenen Karten  werden  zu  einem  neuen  Stapel  zusammengefügt.  Der  neue  Stapel  wird  zu  den anderen  Stapeln  auf  dem  Tisch  gelegt.  Alle  Stapel,  die  jetzt  aus  null  Karten  bestehen, gelten als aufgelöst. Permutationen der Kartenstapel gelten als gleichwertig. Die  im  letzten  Abschnitt  beschriebene  Methode  wird  im  Folgenden  als  ein  Schritt  des Spiels bezeichnet. Dieser Schritt wird immer wieder wiederholt. Definitionen: Um den Zustand des Spieles besser beschreiben zu können, werden folgende Definitionen eingeführt: - ƒÉ :=  Verteilung  der  Karten  zu  Beginn  des  Spiels  mit ƒÉ =  (ƒÉ₁,  ƒÉ₂,  …,  ƒÉ_s).  Hierbei bezeichnet ƒÉ_i den i-ten Kartenstapel. - s := |ƒÉ| = Anzahl der Kartenstapel zu Beginn des Spiels. - ƒÉ^j := Verteilung der Karten nach dem j-ten Schritt des Spieles.   - |ƒÉ_i| := Anzahl der Karten auf dem i-ten Kartenstapel. Als  erstes  stellt  sich  die  Frage,  ob  bei  dieser  Methode  die  Karten  neu  anzuordnen  ein zyklisches   Muster   von   Kartenstapeln   auftritt.   Diese   Frage   lässt   sich   durch   genauere Betrachtung leicht beantworten.   Hierzu  definieren  wir  die  Länge  eines  Zyklus.  Als  Länge  eines  Zyklus  ist  die  Anzahl  der Schritte beginnend von einer Verteilung ƒÉ^j, bis diese Verteilung ƒÉ^j erneut im Spiel auftritt. Sei  ƒÉ = (ƒÉ₁,  ƒÉ₂, …,  ƒÉ_s) eine beliebige Verteilung der n Karten in s Stapeln zu Beginn des Spieles.    Nach    Durchführung    eines    Schrittes    entsteht    eine    neue    Verteilung    ƒÉ'.    Da Permutationen von   ƒÉ' gleichwertig sind, ist  ƒÉ' mit  ƒÉ' = (s, (ƒÉ₁ – 1), (ƒÉ₂ – 1), …, (ƒÉ_s – 1)) eindeutig definiert (Zur Erinnerung: Stapel der Höhe Null =: |ƒÉ_i| = 0 gelten als aufgelöst). Nun  gibt  es  nicht  unendlich  viele  Möglichkeiten,  n  Karten  in  Stapel  einzuteilen.  Dies bedeutet, dass nach einer endlichen Anzahl von  Schritten eine Kartenverteilung gebildet wird, die im vorherigen Spielverlauf schon einmal aufgetreten ist. Da die  durch  einen  Spielschritt  entstehende  Kartenverteilung  eindeutig ist, ist diese im vorherigen Verlauf des Spiels ebenfalls schon einmal aufgetreten.   Dies   gilt   für   alle   darauf   folgenden   Verteilungen.   Die Verteilung  der  Karten  muss  also  immer  einen    zyklischen  Zustand erreichen. Dieser Beweis sagt nichts über die Länge eines Zyklus aus. Im  Folgenden  möchten  wir  zyklische  Zustände  weiter  untersuchen. Uns  interessiert  die  Frage,  wie  zyklische  Zustände  aussehen  und  ob mehrere auftreten können. Abbildung  3.1  zeigt  alle  möglichen  Startpositionen  und  Spielschritte für n = 6 Karten. Es fällt auf, dass egal aus welcher Position gestartet wird,  die  Verteilung  ƒÉ  =  (1,  2,  3)  erreicht  wird.  Durch  ausprobieren zeigt sich, dass bei einer Dreieckszahl von Karten immer der zyklische Zustand ƒÉ = (1, 2, …, k) erreicht wird. Dieser ist einfach-zyklisch. Da